Panjang Vektor dan Vektor Satuan
artikel ini kita lanjutkan dengan pembahasan materi Panjang Vektor dan Vektor Satuan. Seperti yang kita ketahui, vektor adalah suatu besaran yang
memiliki besar dan arah, besar vektor secara matematika yang dimaksud adalah panjang vektor itu sendiri. Panjang sebuah vektor adalah
jarak dari titik pangkal ke titik ujung vektornya. Karena secara aljabar, titik pangkal vektor dan titik ujung vektor dalam bentuk koordinat baik
dimensi dua maupun dimensi tiga, maka panjang vektor dapat ditentukan dengan menggunakan rumus jarak dua titik. Misalkan ada titik $ A(x_1,y_1) $ dan
$ B(x_2,y_2) $, maka jarak titik A ke titik B dapat dihitung dengan rumus jarak yaitu sama dengan $ \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} $. Karena panjang
vektor bisa dihitung dengan rumus jarak, maka panjang vektor $ \vec{AB} $ akan sama dengan panjang vektor $ \vec{BA} $. Panjang vektor $ \vec{AB} $
dilambangkan dengan $ |\vec{AB}| $. Untuk memudahkan dalam mempelajari materi Panjang Vektor dan Vektor Satuan, teman-teman harus menguasai materi
“pengertian vektor dan penulisannya” terlebih dahulu.
Bagaimana dengan vektor satuan? Vektor satuan adalah vektor dengan panjang satu satuan. Tentu
tidak semua vektor termasuk vektor satuan karena panjang setiap vektor bervariasi. Akan tetapi, setiap vektor yang bukan vektor satuan bisa kita cari
vektor satuannya. Misalkan ada vektor $ \vec{a} $ , maka vektor satuan dari vektor $ \vec{a} $ dilambangkan dengan $ e_\vec{a} $. Vektor satuan dari
$ \vec{a} $ searah dengan vektor $ \vec{a} $ itu sendiri. Berikut kita rangkum rumus untuk mencari Panjang Vektor dan Vektor Satuan.
Panjang Vektor
*). Panjang vektor dimensi dua
Misalkan vektor $ \vec{a} = (a_1 , \, a_2) $
Panjang vektor $ \vec{a} = |\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2} $
*). Panjang vektor dimensi Tiga
Misalkan vektor $ \vec{b} = (b_1 , \, b_2 , \, b_3) $
Panjang vektor $ \vec{b} = |\vec{b}| = \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2} $
*). Panjang vektor Diketahui titik pangkal dan ujung
-). Dimensi dua :
Misalkan diketahui titik $A(a_1,a_2) $ dan $ B(b_1,b_2) $
Panjang vektor $ \vec{AB} = |\vec{AB}| = \sqrt{(b_1-a_1)^2 + (b_2-a_2)^2} $
Panjang vektor $ \vec{BA} = |\vec{BA}| = \sqrt{(a_1-b_1)^2 + (a_2-b_2)^2} $
-). Dimensi tiga :
Misalkan diketahui titik $A(a_1,a_2,a_3) $ dan $ B(b_1,b_2,b_3) $
$|\vec{AB}| = \sqrt{(b_1-a_1)^2 + (b_2-a_2)^2 + (b_3-a_3)^2} $
$ |\vec{BA}| = \sqrt{(a_1-b_1)^2 + (a_2-b_2)^2+(a_3-b_3)^2} $
dengan $ |\vec{AB}| = |\vec{BA}| $
Vektor Satuan
*). Vektor satuan dimensi dua
Misalkan vektor $ \vec{a} = (a_1 , \, a_2) $
Vektor satuan $ \vec{a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = \frac{1}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2}} (a_1 , \, a_2) $
*). Vektor satuan dimensi Tiga
Misalkan vektor $ \vec{b} = (b_1 , \, b_2 , \, b_3) $
Vektor satuan $ \vec{b} = \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|} = \frac{1}{\sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}} (b_1 , \, b_2 , \, b_3) $
Contoh soal Panjang Vektor dan Vektor Satuan
1). Tentukan panjang vektor masing-masing berikut ini
a). vektor $ \vec{a} = ( 2, \, -3 ) $
b). vektor $ \vec{b} = ( 1, \, -1 , \, 5 ) $
c). vektor $ \vec{AB} $ dengan koordinat titik $ A(1, 2) $ dan $ B(-2, 3) $
d). vektor $ \vec{CD} $ dengan koordinat titik $ C(0, -1, 3) $ dan $ D(-2, 0 , 1) $
Penyelesaian :
a). vektor $ \vec{a} = ( 2, \, -3 ) $
Panjang vektor $ \vec{a} $ adalah :
$ |\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} $
b). vektor $ \vec{b} = ( 1, \, -1 , \, 5 ) $
Panjang vektor $ \vec{b} $ adalah :
$ |\vec{b}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 1 + 25} = \sqrt{27} $
c). vektor $ \vec{AB} $ dengan koordinat titik $ A(1, 2) $ dan $ B(-2, 3) $
-). Cara pertama :
Panjang vektor $ \vec{AB} $ adalah :
$ |\vec{AB}| = \sqrt{(-2-1)^2 + (3-2)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} $
-). Cara kedua :
Kita cari dulu vektor $ \vec{AB} $ yaitu :
$ \vec{AB} = B – A = (-2 – 1 , \, 3 – 2) = (-3 , \, 1 ) $
Panjang vektor $ \vec{AB} $ adalah :
$ |\vec{AB}| = \sqrt{(-3)^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} $
d). vektor $ \vec{CD} $ dengan koordinat titik $ C(0, -1, 3) $ dan $ D(-2, 0 , 1) $
-). Cara pertama :
Panjang vektor $ \vec{CD} $ adalah :
$ |\vec{CD}| = \sqrt{(-2-0)^2 + (0-(-1))^2 + (1 -3)^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3 $
-). Cara kedua :
Kita cari dulu vektor $ \vec{CD} $ yaitu :
$ \vec{CD} = D – C = (-2 – 0 , \, 0-(-1), \, 1 – 3) = (-2 , \, 1 , \, -2) $
Panjang vektor $ \vec{CD} $ adalah :
$ |\vec{CD}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 1+4} = \sqrt{9} = 3 $
2). Tentukan vektor satuan dari masing-masing vektor berikut :
a). $ \vec{p} = (-1, \, 3) $
b). $ \vec{q} = (1, \, 2, \, -2 ) $
Penyelesaian :
a). $ \vec{p} = (-1, \, 3) $
*). Panjang vektor $ \vec{p} $ :
$ |\vec{p}| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} $
*). Vektor satuan dari $ \vec{p} $ yaitu :
$ e_\vec{p} = \frac{1}{|\vec{p}|} \, \vec{p} = \frac{1}{\sqrt{10}} (-1, \, 3) = \left(-\frac{1}{\sqrt{10}}, \, \frac{3}{\sqrt{10}} \right) $
b). $ \vec{q} = (1, \, 2, \, -2 ) $
*). Panjang vektor $ \vec{q} $ :
$ |\vec{q}| = \sqrt{(1)^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3 $
*). Vektor satuan dari $ \vec{q} $ yaitu :
$ e_\vec{q} = \frac{1}{|\vec{q}|} \, \vec{q} = \frac{1}{3} (1, \, 2, \, -2 ) = \left( \frac{1}{3}, \, \frac{2}{3}, \, -\frac{2}{3} \right) $
3). Diketahui koordinat titik $ A(3, -1, -2 ) $ dan $ B( 0, -1, 2) $. Tentukan vektor satuan dari vektor $ \vec{BA} $ !
Penyelesaian :
*). Menentukan vektor $ \vec{BA} $ :
$ \vec{BA} = A – B = (3-0, \, -1 – (-1), \, -2 – 2) = (3, \, 0 , \, – 4) $
*). Panjang vektor $ \vec{BA} $ :
$ |\vec{BA}| = \sqrt{3^2 + 0^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 0 + 16} = \sqrt{25} = 5 $
*). Vektor satuan dari $ \vec{BA} $ yaitu :
$ e_\vec{BA} = \frac{1}{|\vec{BA}|} \, \vec{BA} = \frac{1}{5} (3, \, 0 , \, – 4) = \left( \frac{3}{5}, \, 0, \, -\frac{4}{5} \right) $
4). Diketahui koordinat titik $ P(1,2) $ dan $ Q(-2,k) $. Jika panjang vektor $ \vec{PQ} $ adalah 5 satuan, maka tentukan jumlah semua nilai $ k $ yang
mungkin!
Penyelesaian :
*). Menentukan vektor $ \vec{PQ} $ :
$ \vec{PQ} = Q – P = (-2 – 1, \, k – 2) = (-3, \, k – 2) $
*). Menentukan nilai $ k $ dengan $ |\vec{PQ}| = 5 $ :
$ \begin{align}
|\vec{PQ}| & = 5 \\
\sqrt{(-3)^2 + (k-2)^2} & = 5 \\
\sqrt{9 + k^2 – 4k + 4 } & = 5 \\
\sqrt{k^2 – 4k + 13 } & = 5 \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\
(\sqrt{k^2 – 4k + 13 })^2 & = 5^2 \\
k^2 – 4k + 13 & = 25 \\
k^2 – 4k – 12 & = 0 \\
(k + 2)(k-6) & = 0 \\
k_1 = -2 \vee k_2 & = 6
\end{align} $
Sehingga jumlah semua nilai $ k $ yang mungkin yaitu :
$ k_1 + k_2 = -2 + 6 = 4 $.
5). Jika vektor satuan dari $ \vec{a} = (1, \, -1, \, r) $ adalah $ \left( \frac{1}{\sqrt{6}}, \, -\frac{1}{\sqrt{6}}, \, -\frac{2}{\sqrt{6}} \right) $,
maka tentukan nilai $ ( r – 3)^2 $ !
Penyelesaian :
*). Panjang vektor $ \vec{a} $ :
$ |\vec{a}| = \sqrt{(1)^2 + (-1)^2 + r^2} = \sqrt{1 + 1 + r^2} = \sqrt{2 + r^2} $
*). Vektor satuan dari $ \vec{a} $ yaitu :
$ e_\vec{a} = \frac{1}{|\vec{a}|} \, \vec{a} = \frac{1}{\sqrt{2 + r^2}} (1, \, -1, \, r) =
\left( \frac{1}{\sqrt{2 + r^2}}, \, -\frac{1}{\sqrt{2 + r^2}}, \, \frac{r}{\sqrt{2 + r^2}} \right) $
*). Pada soal juga diketahui vektor satuan dari $ \vec{a} $ adalah $ \left( \frac{1}{\sqrt{6}}, \, -\frac{1}{\sqrt{6}}, \, -\frac{2}{\sqrt{6}} \right) $,
Sehingga terjadi kesamaan yaitu :
$ \left( \frac{1}{\sqrt{6}}, \, -\frac{1}{\sqrt{6}}, \, -\frac{2}{\sqrt{6}} \right) =
\left( \frac{1}{\sqrt{2 + r^2}}, \, -\frac{1}{\sqrt{2 + r^2}}, \, \frac{r}{\sqrt{2 + r^2}} \right) $
Yang artinya nilai :
$ \frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{2 + r^2}} \rightarrow \sqrt{6} = \sqrt{2 + r^2} \rightarrow r^2 = 4 \rightarrow r = \pm 2 $
$ -\frac{1}{\sqrt{6}} = -\frac{1}{\sqrt{2 + r^2}} \rightarrow \sqrt{6} = \sqrt{2 + r^2} \rightarrow r^2 = 4 \rightarrow r = \pm 2 $
$ -\frac{2}{\sqrt{6}} = -\frac{r}{\sqrt{2 + r^2}} \rightarrow r = 2 $
Nilai $ r $ yang memenuhi adalah $ r = 2 $.
*). Menentukan nilai $ ( r – 3)^2 $ :
$ ( r – 3)^2 = ( 2 – 3)^2 = (-1)^2 = 1 $
Jadi, nilai $ ( r – 3)^2 = 1 . \, \heartsuit $.
6). Sebuah segitiga ABC memiliki koordinat titik pojoknya masing-masing yaitu $ A(0,0) $ , $ B(3,4) $ , dan $ C(p,0) $. Jika keliling segitiga ABC
adalah 16 satuan, maka tentukan nilai $ p^2 – 6p + 1 $ !
Penyelesaian :
*). Untuk menentukan keliling segitiga ABC dapat kita hitung dengan menjumlahkan panjang ketiga sisinya yaitu $ |\vec{AB}| + |\vec{BC}| + |\vec{CA}| $
*). Menentukan panjang masing-masing sisi segitiga ABC :
$ |\vec{AB}| = \sqrt{(3-0)^2 + (4 – 0)^2 } = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 $
$ |\vec{BC}| = \sqrt{(p-3)^2 + (0-4)^2 } = \sqrt{p^2 – 6p + 9 + 16} = \sqrt{p^2 – 6p + 25} $
$ |\vec{CA}| = \sqrt{(0-p)^2 + (0-0)^2 } = \sqrt{p^2+ 0} = \sqrt{p^2} = p $
*). Menentukan nilai $ p $ dengan keliling segitiga = 16
$ \begin{align}
|\vec{AB}| + |\vec{BC}| + |\vec{CA}| & = 16 \\
5 + \sqrt{p^2 – 6p + 25} + p & = 16 \\
\sqrt{p^2 – 6p + 25} & = 11 – p \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\
(\sqrt{p^2 – 6p + 25})^2 & = (11 – p)^2 \\
p^2 – 6p + 25 & = 121 – 22p + p^2 \\
22p – 6p & = 121 – 25 \\
16p & = 96 \\
p & = 6
\end{align} $
Sehingga nilai $ p = 6 $.
*). Menentukan nilai $ p^2 – 6p + 1 $ :
$ p^2 – 6p + 1 = 6^2 – 6.6 + 1 = 36 – 36 + 1 = 1 $
Jadi, nilai $ p^2 – 6p + 1 = 1 . \, \heartsuit $.
7). Diketahui vektor $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $ di R$^2$. Jika $ |\vec{a}| = 4 $, $\vec{b}| = 5 $ , dan $ |\vec{a}+\vec{b}| = 7 $, maka
tentukan nilai $ | \vec{a} – \vec{b}| $!
Penyelesaian :
*). Misalkan vektor $ \vec{a} = (a_1, \, a_2) $ dan $ \vec{b} = (b_1 , \, b_2) $
*). Menyusun beberapa persamaan dari yang diketahui
-). Persamaan pertama : $ |\vec{a}| = 4 $
$ \begin{align}
|\vec{a}| & = 4 \\
\sqrt{a_1^2 + a_2^2} & = 4 \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\
a_1^2 + a_2^2 & = 16 \, \, \, \, \, \, \text{….(i)}
\end{align} $
-). Persamaan kedua : $ |\vec{b}| = 5 $
$ \begin{align}
|\vec{b}| & = 5 \\
\sqrt{b_1^2 + b_2^2} & = 5 \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\
b_1^2 + b_2^2 & = 25 \, \, \, \, \, \, \text{….(ii)}
\end{align} $
-). Persamaan ketiga : $ |\vec{a}+\vec{b}| = 7 $
$ \begin{align}
|\vec{a}+\vec{b}| & = 7 \\
\sqrt{(a_1+b_1)^2 + (a_2+b_2)^2} & = 7 \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\
(a_1+b_1)^2 + (a_2+b_2)^2 & = 49 \\
a_1^2+b_1^2 + 2a_1b_1 + a_2^2+b_2^2 +2a_2b_2 & = 49 \\
(a_1^2+ a_2^2) + (b_1^2 + b_2^2) + 2a_1b_1 +2a_2b_2 & = 49 \\
16 + 25 + 2a_1b_1 +2a_2b_2 & = 49 \\
41 + 2a_1b_1 +2a_2b_2 & = 49 \\
2a_1b_1 +2a_2b_2 & = 49 – 41 \\
2a_1b_1 +2a_2b_2 & = 8 \, \, \, \, \, \, \text{….(iii)}
\end{align} $
*). Menentukan nilai panjang $ | \vec{a} – \vec{b}| $ :
$ \begin{align}
| \vec{a} – \vec{b}| & = \sqrt{(a_1+b_1)^2 + (a_2+b_2)^2} \\
& = \sqrt{(a_1-b_1)^2 + (a_2-b_2)^2} \\
& = \sqrt{a_1^2+b_1^2 – 2a_1b_1 + a_2^2+b_2^2 -2a_2b_2 } \\
& = \sqrt{(a_1^2+ a_2^2) + (b_1^2 + b_2^2) -( 2a_1b_1 +2a_2b_2) } \\
& = \sqrt{16 + 25 -8 } \\
& = \sqrt{33}
\end{align} $
Jadi, panjang $ | \vec{a} – \vec{b}| = \sqrt{33} . \, \heartsuit $
Catatan :
Untuk pengerjaan contoh soal nomor (7) di atas, akan lebih menggunakan konsep perkalian dot (dot product) dua buah vektor yang akan kita bahas pada artikel
lain yang berjudul “Perkalian Dot Dua Vektor (Dot Product)”.
Demikian pembahasan materi Panjang Vektor dan Vektor Satuan dan contoh-contohnya.
Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan “vektor posisi dan vektor nol”.
Untuk berdiskusi tentang Panjang Vektor dan Vektor Satuan, silahkan tulis pada kolom komentar dan share info ini ke media sosial kalian, semoga bermanfaat. Salam Pendidikan!
Disclaimer: Setiap artikel yang berhubungan dengan soal-soal beserta kunci jawabannya, bertujuan untuk membantu siswa belajar dalam persiapan menghadapi UTS/PTS maupun UAS/PAT di sekolah. Tidak ada unsur membocorkan soal yang sifatnya rahasia.
Tidak ada komentar: