Ringkasan Fungsi Kuadrat - umptn
Akunbelajar.com - semoga sehat selalu. Pada artikel ini kamu akan mengetahui lebih banyak tentang
Matematika, mengenai Ringkasan Fungsi Kuadrat - umptn. Untuk lebih jelasnya simak ulasan lengkap dibawah ini.
Untuk berdiskusi tentang Ringkasan Fungsi Kuadrat - umptn, silahkan tulis pada kolom komentar dan share info ini ke media sosial kalian, semoga bermanfaat. Salam Pendidikan!
Disclaimer: Setiap artikel yang berhubungan dengan soal-soal beserta kunci jawabannya, bertujuan untuk membantu siswa belajar dalam persiapan menghadapi UTS/PTS maupun UAS/PAT di sekolah. Tidak ada unsur membocorkan soal yang sifatnya rahasia.
(A). Bentuk Umum Fungsi Kuadrat
Bentuk umum fungsi kuadrat yaitu :
$ f(x) = ax^2 + bx + c \, $ atau $ y = ax^2 + bx + c $
dengan $ a \neq 0 $
Untuk contoh mendetail tentang bentuk umum fungsi kuadrat, silahkan kunjungi link berikut:
Bentuk umum Fungsi Kuadrat
(B). Karakteristik dan Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat
Perhatikan grafik fungsi kuadrat berikut :
Catatan :
-). Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola sehingga grafik fungsi kuadrat juga disebut parabola.
-). Setiap titik yang dilalui atau titik yang berada pada parabola, maka titik tersebut boleh
disubstitusi ke fungsi parabola tersebut.
-). Mensubstitusi titik yang dilalui oleh sebuah grafik ke fungsinya berlaku untuk semua jenis fungsi
(tidak hanya untuk fungsi kuadrat).
Karakteristik grafik fungsi kuadrat :
-). Untuk bentuk $ y = ax^2 + bx + c $ , arah kurva ada dua yaitu :
terbuka keatas (senyum) saat $ a > 0 $
terbuka kebawah (cemberut) saat $ a < 0 $
-). Terdapat titik balik/titik puncak $ (x_p , y_p) $.
Rumus menentukan titik puncak yaitu :
$ x_p = \frac{-b}{2a} \, $
$ y_p = \frac{D}{-4a} \, $ atau $ y_p = f(x_p) \, $
dengan $ D = b^2 – 4ac $
-). Jenis-jenis titik baliknya :
titik balik maksimum saat $ a < 0 $
titik balik minimum saat $ a > 0 $
-). Persamaan sumbu simetri :
$ x = x_p \rightarrow x = \frac{-b}{2a} $
-). Nilai Optimum (maksimum atau minimum) fungsi kuadrat
Nilai maksimum atau minimum = $ y_p $
Contoh soal :
Dari fungsi kuadrat $ f(x) = 2x^2 – 4x + 5 $ , tentukan
a). Persamaan sumbu simetrinya
b). Nilai minimum fungsi
c). Titik balik/titik puncaknya
Penyelesaian :
$ f(x) = 2x^2 – 4x + 5 \rightarrow a = 2, \, b = -4, \, c = 5 $
a). Persamaan sumbu simetrinya : $ x = x_p $
$ x = \frac{-b}{2a} \rightarrow x = \frac{-(-4)}{2 \times 2} \rightarrow x = 1 $
Sehingga persamaan sumbu simetrinya yaitu $ x = 1 $
b). Nilai minimum fungsi
Nilai minimum $ = y_p $
$ y_p = \frac{D}{-4a} = \frac{b^2-4ac}{-4a} $
$ y_p = \frac{(-4)^2 – 4 \times 2 \times 5}{-4\times 2} = \frac{-24}{-8} = 3 $
atau $ y_p = f(x_p) = f(1) = 2 (1^2) – 4 \times 1 + 5 = 2 – 4 + 5 = 3 $
Sehingga nilai minimum fungsi = 3.
c). Titik balik/titik puncaknya $ (x_p, y_p) $
Pada bagian (a) dan (b) kita peroleh :
$ x_p = 1 \, $ dan $ y_p = 3 $
Sehingga titik puncaknya :
$ (x_p , y_p) = ( 1 , 3) $
Jenisnya minimum karena $ a > 0 $.
Contoh soal umptn :
1. Soal SBMPTN 2017 MatDas 224
Sumbu simetri grafik $ f(x) = ax^2 + bx + c $ adalah $ x = 1 $.
Jika $ f(0)=0 $ dan $ f(4) = -16$ , maka nilai $ b – a $ adalah ….
A). $ 6 \, $
B). $ 5 \, $
C). $ 4 \, $
D). $ 3 \, $
E). $ 2 \, $
$\spadesuit $ Jawaban : A
$\clubsuit $ Pembahasan :
*). Fungsi $ f(x) = ax^2 + bx + c $ dengan sumbu simetri $ x = 1 $ :
$ x = 1 \rightarrow \frac{-b}{2a} = 1 \rightarrow b = -2a \, $ ….(i)
*). Substitusi $ f(0)=0 $ dan $ f(4) = -16 $ ke fungsi $ f(x) = ax^2 + bx + c $
$\begin{align}
f(0)=0 \rightarrow a.0^2 + b.0 + c & = 0 \\
c & = 0 \\
\text{sehingga fungsinya :} f(x) & = ax^2 + bx \\
f(4) = -16 \rightarrow a.4^2 + b.4 & = -16 \\
16a + 4b & = -16 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 4)} \\
4a + b & = -4 \, \, \, \, \, \text{….(ii)}
\end{align} $
*). Substitusi (i) ke (ii) :
$ 4a + b = -4 \rightarrow 4a + (-2a) = -4 \rightarrow 2a = -4 \rightarrow a = -2 $.
Pers(i): $ b = -2a = -2.(-2) = 4 $.
Sehingga nilai $ b – a = 4 – (-2) = 6 $.
Jadi, nilai $ b – a = 6 . \, \heartsuit $
2. Soal Selma UM 2014 MatIpa
Diketahui $ \, f(x) = -2x^2 -(p+1)x + 2p. \, $ Fungsi $ f(x) \, $ mempunyai nilai maksimum 8. Jika $ p \, $ bernilai $ p_1 \, $
atau $ p_2 . \, $ Nilai $ p_1 + p_2 \, $ adalah ….
A). $ -16 $
B). $ -17 $
C). $ -18 $
D). $ -19 $
E). $ -20 $
$\spadesuit $ Jawaban : C
$\clubsuit $ Pembahasan :
FK : $ f(x) = -2x^2 -(p+1)x + 2p $
$ \rightarrow a = -2, b = -(p+1), c = 2p $
$\spadesuit \, $ Nilai maksimum FK ($y_p$) dengan rumus $ y_p = \frac{D}{-4a} $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ p \, $ dengan $ \, y_p = 8 $
$\begin{align}
y_p & = 8 \\
\frac{D}{-4a} & = 8 \\
\frac{b^2 – 4ac}{-4a} & = 8 \\
\frac{[-(p+1)]^2 – 4.(-2).(2p)}{-4.(-2)} & = 8 \\
\frac{ p^2 + 2p + 1 + 16p }{8} & = 8 \\
p^2 + 18p + 1 & = 64 \\
p^2 + 18p – 63 & = 0
\end{align}$
PK : $ p^2 + 18p – 63 = 0 , \, $ akar-akarnya $ p_1 \, $ dan $ \, p_2 $
Sehingga : $ p_1 + p_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-18}{1} = -18 $
Jadi, nilai $ p_1 + p_2 = – 18 . \heartsuit $
Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat :
Langkah-langkah dalam sketsa grafik fungsi kuadrat yaitu :
1). Menentukan titik potong (tipot) pada sumbu X (jika ada) dengan cara mensubstitusi $ y = 0 \, $ , sehingga diperoleh akar-akar dari $ ax^2+bx+c = 0 \, $ yaitu
$ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ . Artinya tipotnya $ (x_1,0) \, $ dan $ (x_2,0) $ .
2). Menentukan titik potong (tipot) pada sumbu Y dengan cara mensubstitusi $ x = 0 \, $ , sehingga diperoleh $ y = c \, $ . Artinya tipotnya $ (0,c) $
3). Menentukan titik balik/puncak $ (x_p,y_p) $
Rumus : $ x_p = \frac{-b}{2a} \, $ dan $ y_p = \frac{D}{-4a} \, $ atau $ y_p = f(x_p)= f\left( \frac{-b}{2a} \right) $
Sehingga titik balik/puncaknya :
$ (x_p,y_p)= \left( \frac{-b}{2a} , \frac{D}{-4a} \right) \, $ atau $ (x_p,y_p)= \left( \frac{-b}{2a} , f\left( \frac{-b}{2a} \right) \right) $
4). Menentukan sembarang titik bantuan lainnya agar menggambar lebih mudah, dengan cara memilih beberapa nilai $ x \, $ dan disubstitusikan ke FK.
Untuk contoh soal sketsa grafik fungsi kuadrat, silahkan
teman-teman baca pada link berikut :
Sketsa grafik fungsi kuadrat
(C). Teknik Menggeser Grafik
Misalkan ada fungsi awal : $ y = f(x) $
Mengalami pergeseran menjadi : $ y = f(x \pm b) \pm c $
Artinya :
(a). digeser searah sumbu X sejauh $ b $ dengan :
untuk $ + b $ ke kiri
untuk $ – b $ ke kanan
(b). digeser searah sumbu Y sejauh $ c $ dengan :
untuk $ + c $ ke atas
untuk $ – c $ ke bawah
Catatan :
-). Untuk searah X (kanan atau kiri) tandanya berlawanan dari tanda pada sumbu X
-). Untuk searah Y (atas atau bawah) tandanya searah dari tanda pada sumbu Y
-). Teknik menggeser ini juga bisa menggunakan konsep pergeseran (Translasi) pada transformasi geometri
karena pembuktian rumus di atas menggunakan konsep translasi.
-). Teknik menggeser ini berlaku umum untuk semua jenis fungsi.
Untuk contoh soal yang lebih mendetail tentang teknik menggeser
grafik fungsi kuadrat, silahkan kunjungi link berikut :
Teknik Menggeser Grafik
Contoh soal umptn :
3. Soal SBMPTN 2015 MatDas 617
Jika grafik parabola $ y = x^2 – 3x + a \, $ digeser ke kiri searah sumbu-x sejauh 2 satuan sehingga melalui titik (0,0), maka nilai $ a \, $ adalah ….
A). $ -2 $
B). $ -1 $
C). 0
D). 1
E). 2
$\spadesuit $ Jawaban : E
$\clubsuit $ Pembahasan :
Cara I : Teknik Menggeser
Konsep Teknik Menggeser
Jika grafik $ y = f(x) \, $ digeser ke kiri searah sumbu-x sejauh $ b , \, $ maka grafik barunya adalah $ y = f(x+b) $
$\spadesuit \, $ Grafik $ y = f(x) = x^2 – 3x + a \, $ digeser ke kiri searah sumbu-x sejauh 2, artinya $ b = 2 $ dan $ c = 0 $, karena
digeser ke kiri maka menggunakan $ +b $ , sehingga grafik barunya :
$y = f(x+b) \rightarrow y = f(x+2) $
$\begin{align}
\text{grafik awal : } y & = x^2 – 3x + a \\
\text{grafik baru : } y & = f(x+2) \\
y & = (x+2)^2 -3(x+2) + a
\end{align}$
$\spadesuit \, $ Substitusi titik (0,0) ke fungsi barunya
$\begin{align}
(x,y) = (0,0) \rightarrow y & = (x+2)^2 -3(x+2) + a \\
0 & = (0+2)^2 -3(0+2) + a \\
0 & = 4 – 6 + a \\
0 & = -2 + a \\
a & = 2
\end{align}$
Jadi, nilai $ a = 2 . \heartsuit $
Cara II : Transformasi Geometri (Translasi)
$\spadesuit \, $ Konsep transformasi, khususnya translasi(pergeseran)
*). Grafik digeser ke kiri searah sumbu-x sejauh b, artinya matriks translasinya $ T = \left( \begin{matrix} -b \\ 0 \end{matrix} \right) $
*). pada soal ini, nilai $ b = 2 , \, $ sehingga $ T = \left( \begin{matrix} -2 \\ 0 \end{matrix} \right) $
$\spadesuit \, $ Menentukan bayangannya
$ \begin{align}
\text{byangannya } & = \text{ Matriks } + \text{ awalnya} \\
\left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -2 \\ 0 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\
\left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -2 + x \\ y \end{matrix} \right) \\
x & = x^\prime + 2 \\
y & = y^\prime
\end{align}$
*). awalnya : $ y = x^2 – 3x + a $
*). bayangannya : $ y^\prime = (x^\prime + 2)^2 – 3(x^\prime + 2) + a $
artinya setelah digeser terbentuk grafik yang baru yaitu : $ y = (x + 2)^2 – 3(x + 2) + a $
$\spadesuit \, $ Substitusi titik (0,0) ke fungsi barunya
$\begin{align}
(x,y) = (0,0) \rightarrow y & = (x+2)^2 -3(x+2) + a \\
0 & = (0+2)^2 -3(0+2) + a \\
0 & = 4 – 6 + a \\
0 & = -2 + a \\
a & = 2
\end{align}$
Jadi, nilai $ a = 2 . \heartsuit $
(D). Analisa Grafik
Grafik fungsi kuadrat $ f(x) = ax^2 + bx + c $ dapat kita
analisa berdasarkan beberapa hal berikut yaitu :
a). Nilai $ a, \, b $ , dan $ c $
b). Nilai Diskriminan ($D$)
c). Definit positif atau definit negatif
Untuk contoh soal mengenai analisa grafik ini, siilahkan kunjungi link berikut :
Analisa Grafik fungsi kuadrat
a). Nilai $ a, \, b $ , dan $ c $
(i). Nilai $ a $
Nilai $ a \, $ pada grafik fungsi kuadrat (parabola) berfungsi untuk menentukan arah parabola yaitu terbuka
ke atas atau terbuka ke bawah.
(*). Jika nilai $ a > 0 \, $ (positif), maka parabola terbuka ke atas yang mengakibatkan nilai minimum.
(*). Jika nilai $ a < 0 \, $ (negatif), maka parabola terbuka ke bawah yang mengakibatkan nilai maksimum.
(ii). Nilai $ b $
Nilai $ b \, $ dan $ a \, $ pada grafik fungsi kuadrat (parabola) berfungsi untuk menentukan letak titik puncak .
Untuk memudahkan mengingat posisi titik puncak berdasarkan nilai $ a \, $ dan $ b \, $, gunakan singkatan berikut :
BeKa SaKi = Beda Kanan Sama Kiri
Artinya , jika tanda $ a \, $ dan $ b \, $ berbeda ($ a < 0 \, $ dan $ b > 0 \, $ atau $ a > 0 \, $ dan $ b < 0 $ ) , maka posisi titik puncaknya ada di kanan sumbu Y. dan jika
tanda $ a \, $ dan $ b \, $ sama ($ a < 0 \, $ dan $ b < 0 \, $ atau $ a > 0 \, $ dan $ b > 0 $ ) , maka posisi titik puncaknya ada di kiri sumbu Y.
yang dimaksud tanda disini adalah nilai positif atau negatif saja tanpa memperhatikan besarnya.
(iii). Nilai $ c $
Nilai $ c \, $ menunjukkan perpotongan grafik dengan sumbu Y, bisa positip, negatif, atau tepat di pusat koordinat.
Contoh soal umptn :
4. Soal SBMPTN 2013 MatDas 326
Jika grafik fungsi kuadrat $f(x)=ax^2+bx+c$ mempunyai titik puncak (8,4) dan memotong sumbu-X negatif, maka …
A). $ a >0, \, b > 0 , $ dan $ c > 0 $
B). $ a 0 $
C). $ a 0 , $ dan $ c
D). $ a >0, \, b > 0 , $ dan $ c
E). $ a 0 , $ dan $ c > 0 $
$\spadesuit $ Jawaban : E
$\clubsuit $ Pembahasan :
$\spadesuit \, $ Titik puncak fungsi (8,4) , artinya puncaknya ada pada kuadran I.
$\spadesuit \, $ kurva memotong sumbu X negatif. berdasarkan dua pernyataan di atas, maka gambarnya adalah :
$\spadesuit \, $ Kurva maksimum (puncak di atas) , maka nilai $a
$\spadesuit \, $ Kurva memotong sumbu Y positif, artinya nilai $ c > 0 $ .
$\spadesuit \, $ Titik puncak ada di kanan sumbu Y, berarti berlaku BeKa (beda kanan) artinya tanda $a$ dan $b$
tidak sama (harus berbeda). Karena $a 0 $ .
Jadi, diperoleh $a 0 , c > 0. \heartsuit $
5. Soal SNMPTN 2010 MatDas 336
Fungsi $f(x)=x^2+ax$ mempunyai grafik berikut
Grafik fungsi $g(x)=x^2-ax+5 $ adalah …
$\spadesuit $ Jawaban : E
$\clubsuit $ Pembahasan :
Agar tidak rancu, alfabet $a$ diganti dengan $k$
$\spadesuit \, $ Analisa grafik $f(x) = x^2 + kx$
Kurva hadap atas, sehingga nilai $a > 0 $
Puncak di kanan sumbu Y, berlaku BeKa (Beda Kanan), artinya nilai $a$ dan $b$ harus beda.
Karena $a > 0 $ , maka nilai $ b
Catatan : Jika puncak di kiri sumbu Y, berlaku SaRi (Sama Kiri) .
$\spadesuit \, $ Analisa grafik $g(x) = x^2 – kx + 5$
Nilai $a = 1 > 0 \, $ artinya kurva hadap atas.
Nilai $b = -k > 0 \, $ ( $k$ negatif, sehingga nilai $-k \, $ positif).
Karena nilai $a$ dan $b$ sama (sama-sama positif), berlaku SaRi ( Sama Kiri), artinya puncak ada di sebelah kiri sumbu Y.
$c = 5$ , artinya kurva memotong sumbu Y di $y=5$ .
Sketsa grafik fungsi $ y = g(x) $
$ \heartsuit $
b). Nilai Diskriminan ($D$)
Kedudukan yang dimaksud adalah posisi parabola , apakah memotong sumbu X, menyinggung sumbu X, atau tidak memotong dan
menyinggung sumbu X , yang ditentukan berdasarkan nilai Diskriminaanya $(D=b^2-4ac)$ .
Contoh soal umptn :
6. Soal SBMPTN 2014 MatDas 631
Jika $ a > 2, \, $ maka grafik fungsi $ f(x) = ax^2 + 2ax + 2 \, $
(A) berada di atas sumbu X
(B) berada di bawah sumbu X
(C) menyinggung sumbu X
(D) memotong sumbu X di dua titik berbeda
(E) memotong sumbu X di $ (x_1,0) \, $ dan $ (x_2,0) \, $ dengan $ x_1 > 0 \, $ dan $ x_2 > 0 $
$\spadesuit $ Jawaban : D
$\clubsuit $ Pembahasan :
Konsep nilai diskriminan ($D=b^2-4ac$) pada fungsi kuadrat (FK)
jika nilai $ D > 0 \, $ , maka FK memotong sumbu X di dua titik berbeda
jika nilai $ D = 0 \, $ , maka FK memotong sumbu X di satu titik (menyinggung)
jika nilai $ D
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai Diskriminannya
fungsi $ f(x) = ax^2 + 2ax + 2 \, $ dengan $ a > 2 $
$\begin{align}
D & = b^2 – 4ac \\
& = (2a)^2 – 4.a.2 \\
& = 4a^2 – 8a \\
D & = 4a(a – 2 )
\end{align}$
Karena nilai $ a > 2 \, $ , maka nilai $ (a-2) \, $ juga positif begitu juga nilai $ 4a $ .
Diperoleh nilai $ D = 4a(a-2) \, $ juga positif ($D > 0$), sehingga berdasarkan jenis nilai Diskriminan di atas maka FK memotong sumbu
X di dua titik yang berbeda.
Catatan : Untuk opsi E, nilai $ x_1 > 0 \, $ dan $ x_2 > 0 \, $ akan memungkinkan nilai $ x_1 \, $ sama dengan nilai $ x_2 \, $ , sedangkan
dari syarat haruslah titik potongnya berbeda ($x_1 \neq x_2 $), sehingga opsi E salah.
Jadi, FK memotong sumbu X di dua titik yang berbeda. $ \heartsuit$
c). Definit positif atau definit negatif
*). Definit Positif (kurva selalu di atas sumbu X) artinya nilai fungsi kuadrat selalu positif untuk semua $ x \, $ . Syaratnya : $ D 0 $
*). Definit Negatif (kurva selalu di bawah sumbu X) artinya nilai fungsi kuadrat selalu negatif untuk semua $ x \, $ . Syaratnya : $ D
contoh soal umptn :
7. Soal SPMB 2007 MatDas
Fungsi kuadrat $y= ax^2+x+a $ definit negatif untuk konstanta $a $ yang memenuhi ….
A). $ a< -\frac{1}{2} \, $ atau $ a > \frac{1}{2} $
B). $ -\frac{1}{2} < a < \frac{1}{2} $
C). $ 0 < a < \frac{1}{2} $
D). $ a < 0 $
E). $ a < -\frac{1}{2} $
(E). Kedudukan Garis dan Parabola
(i). Garis dan parabola berpotongan di dua titik berbeda,
sayaratnya : $ D > 0 $
(ii). Garis dan parabola bersinggungan (berpotongan di satu titik),
syaratnya : $ D = 0 $
(iii). Garis dan parabola tidak berpotongan atau bersinggungan,
syaratnya : $ D < 0 $
Langkah-langkah menyelesaikan soal kedudukan garis dan parabola :
1). Substitusi persamaan garis ke persamaan bola sehingga terbentuk persamaan kuadrat
2). Tentukan nilai Diskriminannya $(D)\, $
3). Selesaikan sesui syarat yang diminta (berpotongan, bersinggungan, atau tidak berpotongan dan bersinggungan)
Untuk contoh soal lebih mendetail, silahkan kunjungi link berikut :
Kedudukan garis dan parabola
Contoh soal umptn :
8. Soal SBMPTN 2014 MatDas 654
Jika $2a+1
A). $ \frac{17}{16} $
B). $ \frac{5}{4} $
C). 2
D). 5
E). 17
$\spadesuit $ Jawaban : C
$\clubsuit $ Pembahasan :
$\clubsuit \,$ Syarat nilai $a$ : $ 2a+1
$\clubsuit \, $ Grafik bersinggungan, syaratnya : $D=0$
$\begin{align*}
y_1&=y_2 \\
2x^2+2x&=x^2-4ax+a \\
x^2+2(2a+1)x-a&=0 \\
D=0 \Leftrightarrow b^2-4ac&=0 \\
[2(2a+1)]^2-4.1.(-a)&=0 \\
4(4a^2+4a+1)+4a&=0 \, \, \text{(bagi 4)} \\
4a^2+5a+1&=0 \\
(4a+1)(a+1)&=0 \\
a=-\frac{1}{4} \, & \text{atau} \, a=-1
\end{align*} $
$\clubsuit \, $ karena syarat $ a
sehingga $a^2+1=(-1)^2+1=2$
Jadi, nilai $a^2+1=2 \, \heartsuit $
0>
9. Soal UM UGM 2014 MatDas
Jika garis $2x-3y+5k-1=0$ memotong parabola $y=x^2-2x+k+1$ di dua titik, maka nilai $k$ yang memenuhi adalah …
A). $ k
B). $ k
C). $ k > -\frac{2}{3} $
D). $ k
E). $ k
(F). Menyusun Fungsi Kuadrat (FK)
Menyusun Fungsi Kuadrat dapat dilakukan tergantung dari yang
diketahui yaitu :
(i). Diketahui titik puncaknya $(x_p , y_p) $
Rumus : $ y = a(x-x_p)^2 + y_p $
dengan nilai $ a \, $ diperoleh dari titik lain yang diketahui.
(ii). Parabola memotong sumbu X di $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ [ $(x_1,0) \, $ dan $(x_2,0)$]
Rumus : $ y = a(x-x_1)(x-x_2) $
dengan nilai $ a \, $ diperoleh dari titik lain yang diketahui.
(iii). Parabola melalui tiga titik sembarang selain titik-titik yang telas disebutkan di atas
Cara : Untuk menentukan fungsi kuadratnya, substitusikan ketiga titik yang diketahui ke bentuk umum
FK $ y = ax^2+bx+c \, $ , lalu eliminasi untuk menentukan nilai $ a , \, b , \, $ dan $ c $
Untuk contoh yang lebih mendetail tentang menyusun fungsi kuadrat,
silahkan kunjungi link berikut :
Menyusun Fungsi Kuadrat
Contoh soal umptn:
10. Soal UM UGM 2014 MatDas
Suatu grafik fungsi kuadrat memotong sumbu $x$ di A(1,0) dan B(2,0) . Jika grafik fungsi kuadrat tersebut melalui titik (0,4)
dan puncaknya di titik $(p,q)$ , maka $p+q=…$
A). 1
B). $ \frac{3}{2} $
C). 2
D). $ \frac{5}{2} $
E). 3
$\spadesuit $ Jawaban : A
$\clubsuit $ Pembahasan :
Fungsi kuadrat (FK) melalui titik $(x_1,0)$ dan $(x_2,0)$ : $y=a(x-x_1)(x-x_2)$
$\spadesuit \, $ FK melalui (1,0) dan (2,0) : $y=a(x-1)(x-2)$ … pers(i)
$\spadesuit \, $ FK melalui (0,4) , substitusi ke pers (i):
$4=a(0-1)(0-2) \Rightarrow a=2 \, $ sehingga pers(i) menjadi : $y=2(x-1)(x-2) \Leftrightarrow y=2x^2-6x+4$
$\spadesuit \, $ Titik Puncak $(x_p,y_p) = (p,q)$
$x_p=\frac{-b}{2a} \Leftrightarrow p=\frac{-(-6)}{2.2} \Leftrightarrow p=\frac{3}{2}$
$y_p=f(x_p) \Leftrightarrow q=f\left( \frac{3}{2} \right) \Leftrightarrow q=2\left( \frac{3}{2} \right)^2-6\left( \frac{3}{2} \right)+4 = \frac{-1}{2}$
$\spadesuit \, $ Sehingga, $p+q= \frac{3}{2} + \frac{-1}{2} = 1$
Jadi, nilai $p+q=1 . \heartsuit $
11. Soal UMPTN 2000 MatDas
Fungsi kuadrat yang melalui titik (-1,3) dan titik terendahnya sama dengan puncak dari grafik $ f(x) = x^2 + 4x +3 $ adalah ….
A). $ y = 4x^2 + x + 3 $
B). $ y = x^2 – 3x – 1 $
C). $ y = 4x^2 +16 x + 15 $
D). $ y = 4x^2 + 15x + 16 $
E). $ y = x^2 + 16x + 18 $
(G). Penerapan Fungsi Kuadrat pada Nilai maksimum atau minimum
Langkah-langkah Menyelesaikan Soal Cerita
1). Buat model matematika yaitu dalam bentuk fungsi kuadrat $ f(x) = ax^2+bx+c $
2). Tentukan nilai maksimum atau minimumnya dengan rumus pada fungsi kuadrat :
(i). jika $ a > 0 , \, $ maka nilai minimum = $ \frac{D}{-4a} $
(ii). jika $ a
(iii). nilai yang menyebabkan maksimum/minimum = $ -\frac{b}{2a} $
dengan $ D = b^2 – 4ac \, $ yang disebut sebagai nilai Diskriminan.
Untuk contoh mendetail tentang penerapan fungsi kuadrat, silahkan kunjungi link berikut ya:
Penerapan fungsi kuadrat
Tentu, beberapa contoh soal di atas masih terasa kurang jika benar-benar ingin menguasai berbagai variasi soal-soal fungsi kuadrat seleksi PTN.
Untuk lebih memaksimalkan belajarnya, silahkan Pembaca kunjungi link berikut :
Kumpulan
soal Fungsi Kuadrat seleksi PTN .
Ikuti terus Akunbelajar.com di aplikasi Google News klik following, dapatkan update
Matematika terbaru dengan sangat mudah.
Untuk berdiskusi tentang Ringkasan Fungsi Kuadrat - umptn, silahkan tulis pada kolom komentar dan share info ini ke media sosial kalian, semoga bermanfaat. Salam Pendidikan!
Disclaimer: Setiap artikel yang berhubungan dengan soal-soal beserta kunci jawabannya, bertujuan untuk membantu siswa belajar dalam persiapan menghadapi UTS/PTS maupun UAS/PAT di sekolah. Tidak ada unsur membocorkan soal yang sifatnya rahasia.
Tidak ada komentar: